幾何学的方法

図1で、一番大きい外側の円を円0と呼ぶ。さらに、大きな円の中側にある2個の円に円1、円2と名前をつけ、それらの半径をr1、r2と名ずけよう。図2における目標の円の半径r3は不明であるが、まず任意の推定をする。

 

円1と同じ中心を持ち、半径r1+r3の円を描く。

円2と同じ中心を持ち、半径r2+r3の円を描く。

これら2個の円の交点を中心に半径r3の円を描くと、円1と円2に接触する円が描かれる。これを円3と呼ぶ。r3は任煮の推定なので、r3は外側の円とは内接していない。r3の変更必要である。

 

円3の中心と円0の中心を直線で結ぶ。この線は円0の外周と直交しており、また円3の外周とも直交している。これら2個の直交点の距離の半分をr3に加え、r3の新しい推定値として用いる。この新しい推定値を用いて前パラグラフの作業を繰り返す。

 

これを繰り返すと、目的の円が正確にきまるが、たいてい合計3度くらいの繰り返しで、非常に正確な答えがきまる。

 

数式を解く方法

幾何学的方法と原理は同じであるが、半径r1+r3の円と半径r2+r3の円の交点の座標を数式で求めるところが異なる。

 

円1、円2の中心の座標を、(x1,y1), (x2,y2)としよう。半径r1+r3の円と半径r2+r3の円を表す式はそれぞれ

 

(x – x1)2 + (y – y1) 2 =  (r1+r3) 2

 

(x – x2)2 + (y – y2) 2 =  (r2+r3) 2

 

これら2個の円の交点はニュートン繰り返し法を用いて求めることが出来る。正解の座標を(x + dx, y + dy)とする。ここで(x, y)は座標の推定値。正解の座標(x + dx, y + dy)を用いた円の式は

 

(x + dx – x1)2 + (y + dy – y1) 2 =  (r1+r3) 2

 

(x + dx – x2)2 + (y + dy – y2) 2 =  (r2+r3) 2

 

これらを展開し、dx2dy2を無視すれば、dxdyに対する連立一次方程式が獲られる。

 

(x – x1) dx + (y – y1) dy =  (r1+r3) 2  (x – x1)2 (y – y1) 2

 

(x – x2) dx + (y – y2) dy =  (r2+r3) 2  (x – x2)2 (y – y2) 2

 

上の式を解けば、(x + dxy + dy)が交点の座標となるがdx2dy2を無視したので誤差ある。そこで(x + dxy + dy)を新しい座標の推定値として、もう一二度繰りかえさなければならないが、収斂は早く、合計3〜4回の繰り返しで、7〜8桁まで正しくなる。ただし、2個の円の交差点は2個あるので、推定値を適切に決めておかなければ、予期しない結果となることがある。

 

円3の半径の計算は、幾何学的方法でやったことを計算に置き換えるだけであるが、ここでも数回の繰り返しが必要である。

 

答え終わり

 

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